Halaman
127Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX BABBilanganBerpangkat danBentuk Akar5Tujuan PembelajaranPada bab ini, kamu akan mempelajari tentang kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah. Setelah melakukan pembelajaran ini, kamu dapat:• menjelaskan pengertian bilangan bulat yang eksponennya negatif, positif, dan nol;• mengubah pangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya;• mengenal arti pangkat positif dan negatif;• mengenali arti bilangan pecahan berpangkat dan menemukan hasilnya;• mengubah bentuk akar suatu bilangan bulat menjadi bilangan berpangkat pecahan dan sebaliknya;• menghitung perpangkatan dari akar suatu bilangan;• menyelesaikan operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat suatu bilangan berpangkat tak sebenarnya;• merasionalkan bentuk akar kuadrat ...(*).Pada pembelahan makhluk hidup bersel satu awalnya terdiri dari satu sel.Kemudian, membelah menjadi dua sel. Dari dua sel masing-masing melakukan pembelahan sehingga menjadi empat sel. Dari empat sel masing-masing membelah lagi dan sekarang menjadi delapan sel. Demikian seterusnya. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil pembelahan makhluk hidup bersel satu tersebut?Apakah merupakan perkalian berulang?Sumber: upload.wikimedia.org
128Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarMateri PrasyaratUntuk mempermudah kamu mempelajari materi yang akan dipelajari, coba ingat kembali materi yang akan dipelajari, coba ingat kembali materi tentang sifat-sifat operasi hitung dan bentuk-bentuk aljabar yang telah dipelajari di kelas VII dan VIII.Soal Pembangkit MotivasiSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut!1. Tentukanlah hasilnya! a. 32 × 34 d. b. e. c. f. 24 : 222. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini! a. m2 × m4 d. x2y2 × x5 b. a6 × a10 e. c. 3x4 × x5 f. 3. Tentukanlah nilai x berikut ini! a. 3x–2 = 243 b. 9x–2 = c. 25x = 5104. Selesaikanlah operasi hitung bentuk akar berikut!
129Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Kata Kunci• Akar• Basis• Eksponen• Faktor• Pangkat• Sekawan5. Sederhanakanlah bentuk berikut ini!Dalam proses matematika, penulisan bilangan, baik dalam bentuk penjumlahan maupun perkalian yang relatif panjang, perlu dipermudah. Hal ini sebenarnya dapat dilakukan dengan cara eksponesial, yaitu suatu bentuk yang menunjukkan pada pangkat berapa bilangan itu herus diperbanyak untuk menghasilkan suatubilangan tertentu.A. Pangkat Bilangan Bulat1. Pangkat Bulat PositifSeringkali kita menemukan suatu operasi yang merupakan perkalian berulang dari sebuah bilangan yang sama.Misalnya:1. 3 × 3 × 32. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 23. (–4) × (–4) × (–4) × (–4) × (–4)Kita memerlukan suatu notasi singkat yang dapat menyatakan operasi tersebut. Notasi singkat itu ditemukan pertama kali oleh Rene Descartes (1596 – 1650), yang disebut dengan notasi eksponen atau notasi pangkat.Sehingga:1. 3 × 3 × 3 = 332. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 263. (–4) × (–4) × (–4) × (–4) × (–4) = (–4)5Bentuk an(dibaca: a pangkat n) disebut bilangan berpangkat a dinamakan bilangan pokok atau basis dan n dinamakan pangkat atau eksponen.Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, an didefinisikan sebagai hasil perkalian a sebanyak n, yaitu:an = a × a × a × . . . × a sebanyak n faktor}
130Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akaruntuk n = 1 , a1 = aContohTentukanlah hasilnya!a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32b. c. (–5)4 = (–5) × (–5) × (–5) × (–5) = 625d. –4 = –(4 × 4 × 4) = –64Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif dimana a, b, bilangan real m, n, bilangan bulat positif.1. amxan= am+n2. bm : bn = bm–n untuk m > n dan b≠ 03. (am)n = qmn4. (ab)m = ambm5. , untuk b≠ 0Cobalah buktikan sifat-sifat bilangan bulat positif tersebut! Buatlah contoh-nya!2. Pangkat Bulat NegatifPada sifat bilangan bulat bm : bn = bm–n, bagaimana apabila m < n, m, n bilangan bulat positif, b bilangan real, b≠ 0? Perhatikanlah contoh berikut: 32 : 33 = 32–3 = 3–1Berapakah hasil perkalian 3 sebanyak –1?Kegiatan
131Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Definisi a–n = 1anContoh di atas merupakan contoh dari sifat bilangan berpangkat bulat. am: an = am – n untuk a≠ 0ContohSederhanakanlah pembagian bilangan berpangkat berikut dengan menggunakan sifat pembagian dan dengan definisi bilangan berpangkat.a. 34 : 36 b. 22 : 25Penyelesaian:Dari contoh tersebut dapat disimpulkan: Untuk aR, a≠ 0 berlaku: a–n = 1an atau an = 1a-na–n disebut pangkat bulat negatif dan disebut pangkat tak sebenarnya.3. Pangkat NolTelah diketahui sebelumnya bahwa an adalah bentuk perkalian a sebanyak n dimana a≠ 0 dan n bilangan bulat positif. Bagaimana apabila n = 0? Apakah a0 dapat diarahkan perkalian a sebanyak 0? Perhatikanlah penjelasan berikut!Dengan menggunakan sifat am : an = am – n, apabila m = na3 : a3 = a3 – 3 = a0Info PlusUntuk menyederhanakan penulisan bilangan yang biasanya digunakan untuk bilangan (sangat) besar atau juga yang (sangat) kecil, biasanya digunakan penulisan dalam bentuk baku, yaitu:a × 10n dengan 1 ≤a < 10dan n bilangan bulatContoh:345 = 3,45 × 102123.400.000 = 1,234 × 1080,5 = 5 × 10–10,000432 = 4,32 × 10–4
132Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akara3 : a3 = = 1Jadi, a0 = 1Contoh1. 35 : 35 = 35 – 5 = 30 35 : 35 = = 1 Jadi, 30 = 12. 43 : 43 = 43 – 3 = 40 43 : 43 = = 1 Jadi, 40 = 1Untuk setiap aR, a≠ 0, maka berlaku a0 = 1DiskusikanBersama dengan teman sebangku kalian, selidiki:1. amxan = . . . . a. m = –n, a bilangan real b. –m = n, a bilangan real2. (am)n = . . . . a. m = 0 dan n bilangan real c. m = 0 dan n = 0 b. m bilangan real dan n = 0Dari hasil diskusi di atas buat kesimpulan kalian!Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bulat positif! a. 3–2 d. 3 a2 . b–3 g. b. 5–3 e. x–2 . b–4 h. c. a–2 f. 2–1 . a–3 . b i. TokohAhli matematika Prancis yaitu Rene Descartes (1596 -1650) adalah orang yang pertama kali mengenalkan penggunaan notasi pangkat a2, a3, dan sebagainya pada tahun 1637.Sumber: Encarta, 2004
133Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 2. Hitunglah!a. 3–2 c. e. 2–6b. 8 . 2–2 d. f. 12 . 3–33. Hitunglah!B. Bilangan Pecahan Berpangkat dan Bilangan Ber-pangkat Pecahan1. Bilangan Pecahan BerpangkatBagaimana bila suatu bilangan pecahan () dipangkatkan dengan bilangan bulat positif? Apabila a dan b bilangan bulat positif. Agar kita dapat mengenal lebih tentang bentuk perhatikan penjabaran bilangan berikut.Apabila a dan b bilangan bulat, n bilangan bulat positif b≠ 0, = Info MatematikaDi galaksi kita, Galaksi Bima Sakti terdapat sekitar 1011 atau 100 miliar bintang. sementara itu, di alam semesta ada sekitar 109 atau 1 miliar galaksi. Jika setiap galaksi terdiri dari 1011 bintang, berapakah bintang di alam semesta kita? Sungguh mahabesar Tuhan Sang Pencipta kita.
134Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarContohHitunglah!Penyelesaian:2. Bilangan Berpangkat PecahanBentuk-bentuk seperti adalah bentuk-bentuk bilangan berpangkat pecahan dan secara umum ditulis: dengan aR, m dan nbilangan asli, a≠ 0 dan n≠ 0. Perhatikanlah penjabaran pangkat dari bilangan berpangkat:(32)3 = 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) = 36 = 32 . 3(24)2 = 24 × 24 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 28 = 24 . 2 Untuk aR, berlaku (am)n = am . nContohSederhanakanlah!Penyelesaian:a.
135Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Bentuk dibaca “akar n dari a” atau “a diakar n”Perhatikanlah uraian berikut ini!ContohUbahlah ke bentuk akar dari bilangan berpangkat pecahan berikut!Penyelesaian:
136Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akarb. Pangkat Pecahan Bentuk Berdasarkan contoh di atas, untuk bagian d, e, dan f, maka dapat ditarik kesimpulan: Untuk aR, a 0, n 0, berlakua = = ContohUbahlah bentuk akar di bawah ini menjadi bentuk pangkat!Penyelesaian:c. Persamaan Pangkat SederhanaJika terdapat suatu persamaan pangkat sederhana a(x) = an dimana a Ryang tidak sama dengan 0 maka untuk menyelesaikannya, harus disamakan ruas kiri dengan ruas kanan. Perhatikanlah contoh berikut!Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah ini!a. 22 + b = 8 b. 32x = 81Penyelesaian:a. 22+b = 8 b. 32x = 81 22 + b = 23 32x = 34 2 + b = 3 2x = 4b = 3 – 2 x = 42b = 1 x = 2
137Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini!Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Ubahlah menjadi bentuk akar bilangan berpangkat di bawah ini!2. Ubahlah bentuk-bentuk akar di bawah ini menjadi bilangan berpangkat!3. Ubahlah ke dalam bentuk pangkat pecahan!4. Nyatakanlah dalam bentuk
138Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar5. Tentukanlah nilainya!6. Tentukanlah x yang memenuhi: a. 5x = 625 c. 93x – 1 = 27x + 2 b. 3x – 1 = 81 d. 9x – 2 = 7. Dengan menggunakan sifat am × an, hitunglah: a. 54 × 53 f. 32 × 34 × 36 b. 34 × 3–2 g. c. 2–4 × 25 h. (–2)3 × (–2)–10 × (–2)5 d. 7–2 × 7–3 i. a8 × a–1 × a–7 e. 52 × 5–3 × 54 j. 24x × 2–2x × 2x8. Dengan menggunakan sifat am : an = am–n, hitunglah: a. 34 : 32 d. 56 : 5–2 b. 78 : 73 e. (32 : 36) : 34 c. 24 : 26 f. 9. Dengan menggunakan sifat (am)n = am.n, hitunglah: a. (32)4 c. e. (23 . 34)3 b. (2–3)2 d. (53)–2 f. 10. Hitunglah! a. 44 × 4–3 c. e. b. 36 : 34 d. f. 11. Tentukan panjang rusuk kubus yang memiliki:a. volume 216 cm3c. luas permukaan 600 cm2b. volume 81 cm3d. luas permukaan 320 cm2
139Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 12. Tentukanlah hasil dari bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan pangkat bilangan yang tidak negatif!13. Hitunglah!14. Tentukanlah nilai dari:15. Hitunglah!16. Hitunglah!
140Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarC. Operasi pada Bentuk Akar1. Penyederhanaan Bentuk AkarContohSederhanakanlah bentuk akar berikut!Penyelesaian:2. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarDua buah bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua akar tersebut mempunyai jenis yang sama.x, y bilangan real dan a bilangan bulat positifContohSederhanakanlah!
141Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX 3. Perkalian Bentuk Akar Jadi, a, b bilangan bulat positifContohSederhanakanlah!Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Sederhanakanlah bentuk akar berikut!
142Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar2. Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan akar berikut!3. Sederhanakanlah perkalian akar berikut!4. Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A. Jika AB = 1 cm dan AC = 2 cm, tentukanlah keliling segitiga ABC!D. Merasionalkan Penyebut Suatu PecahanSebelum membahas cara merasionalkan penyebut suatu pecahan, marilah kita bahas pasangan bentuk akar yang hasil kalinya merupakan bilangan rasional. Pasangan bentuk akar ini disebut sekawan dari bentuk akar yang diketahui.Contoh
143Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Secara umum dapat ditulis sebagai berikut:Jika a, b bilangan bulat positif, k bilangan real, berlaku . . . .1. kawan dari adalah 2. kawan dari k adalah atau k3. kawan dari + adalah – 4. kawan dari k + adalah k – Mari kita buktikan!1. . = a, aQmaka kawan dari adalah 2. k . = k . a, ka Qmaka kawan dari k adalah atau k .Nomor 3 dan 4 buktikan sendiri sebagai latihan!Yang termasuk merasionalkan penyebut adalah jika sebuah pecahan, penyebutnya merupakan bentuk akar maka diusahakan agar penyebutnya menjadi bilangan rasional.Caranya: pembilang dan penyebut dikalikan dengan kawan dari bentuk akar yang terdapat pada penyebut pecahan yang diketahui.ContohRasionalkanlah penyebut pecahan berikut!
144Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
145Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Uji KompetensiKerjakanlah pada buku latihan!1. Tentukanlah hasil kali berikut!2. Rasionalkanlah penyebut pecahan berikut!3. Sederhanakanlah penjumlahan berikut!
146Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarRangkuman• Bentuk an disebut bilangan berpangkat dengan a dinamakan bilangan pokok atau basis dan n dinamakan pangkat atau eksponen.an = a × a × a × ... × aada n faktoruntuk n = 1 ditetapkan a1 = aCoba kalian lanjutkan rangkuman ini di buku tulis!• Pangkat bilangan bulat negatif dan nol(i) a–n = , untuk a 0(ii) = an(iii) a0 = 1, untuk a bilangan real dan a 0• Jika a dan b bilangan real yang tidak nol serta m dan n bilangan bulat, berlaku:(i) am × an = am+n(ii) am : an = am–n(iii) (am)n = am×n(iv) (ab)m = ambm(v) • Bilangan berpangkat pecahan berikut dapat diubah dalam bentuk akar• Operasi bentuk akar(i) Dua buah bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua akar tersebut mempunyai jenis yang samax ± y = (x ± y) (ii) . = }
147Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX RefleksiPerhatikanlah uraian berikut!Benarkah hasilnya seperti ini? Berikan alasanmu?
148Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk AkarPeta Konsep
149Matematika untuk SMP dan MTs. Kelas IX Uji Kompetensi Akhir Bab 5A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
150Bab 5Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar